1.rendas e conceitos
1.1 capital
1.2 juros
1.3 rendas - conceitos
1.3 a)rendas certas ou anuidades
1.3 b)rendas aleatórias
1.3 c)rendas imediatas
1.3 d)rendas antecipadas
1.3 e)rendas diferida

2.juros e descontos

2.1 Pagamentos
2.1 a) Séries uniformes
2.1 b) Séries mistas
2.1 c) Séries antecipadas
2.1 d) Séries postecipadas

2.2 Empresitmos

2.3 Fluxo de Caixa

2.4 Definições Importantes
2.4.1 SAC - Sistema de Amortização Constante
2.4.2 SAF - Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)
2.4.3 SAA - Sistema de Amortização Americano - SAA
2.4.4 SAM - Sistema de Amortização Misto
2.4.5 Sistema de Amortizações Variáveis. Parcelas Intermediárias.

2.5 Financiamentos

2.6 Desconto "Por Fora" e "Por Dentro"

2.7.1 Taxa Nominal
2.7.2 Tafa Efetiva
2.7.3 Taxas Equivalentes

2.8 Inflação e Seus Indices
2.8.1 Encargos Financeiros
2.8.2 Emprestimo
2.8.3 Financiamento
2.8.4 Amortização
2.8.5 Saldo Devedor
2.8.6 Prestação
2.8.7 Carencia

2.9 Como funciona o processo de atualização de preços

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1 - Rendas e conceitos

O conteúdo de potenciação é um conteúdo que precisamos revisar, pois aparece nas operações envolvendo juros compostos, entre outros.

Exemplos:

A Matemática Financeira é um dos conteúdos que mais gosto de lecionar, pois são cálculos de acordo com a realidade de todos. Muitas vezes não nos damos conta de como são importantes para o nosso conhecimento, não só do administrador, mas do cidadão. Os bancos cobram juros compostos e as financiadoras de habitação, veículos, enfim, utilizam-se de tabelas financeiras.

Vamos recordar um conceito básico da Matemática Financeira:

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo, simplificando as operações financeiras por meio de procedimentos. Vamos rever alguns conceitos básicos:

1.1 - Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Podemos observar nos livros diversas interpretações para o capital, pois é também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.

1.2 - Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva como, por exemplo, empréstimos, financiamentos, descontos, entre outros. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos ou até mesmo com algumas condições mistas.

1.3 - Rendas  
Conceitos:

Renda é uma sucessão de capitais disponíveis em épocas diferentes, destinados a formar um capital ou pagar uma dívida denominada renda.  A estes capitais damos o nome de termos ou anuidades e eles podem ser iguais ou não. Se forem iguais as Rendas serão denominadas de Termos Constantes ou simplesmente Rendas Constantes. No entanto, se forem variáveis teremos as chamadas Rendas Variáveis.
O intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos recebe o nome de período da renda e é sempre o mesmo. A renda pode ser classificada segundo três critérios: constância ou variabilidade de seus termos, número de termos e data de vencimento do seu primeiro termo.

As rendas podem ser de dois tipos:

1.3 a) Rendas certas ou anuidades:

Quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados.
Um exemplo básico é a compra de bens a prazo. Quando compramos um eletrodoméstico já sabemos o quanto pagaremos em cada parcela.

1.3 b) Rendas aleatórias:

Quando pelo menos um dos seus elementos não pode ser previamente determinado. Por exemplo, quem já não fez ou pensou em fazer um seguro de vida, você sabe até quando pagará? Imagino que não, afinal não sabemos quando morreremos por isso o número de termos é indeterminado.

1.3 c) Rendas imediatas:

É o tipo mais comum. Quando o primeiro termo vencer imediatamente no fim do primeiro período a contar da época atual, ou seja, época de contrato, também chamada época zero.

1.3 d) Rendas antecipadas:

Quando o primeiro termo vencer antecipadamente já na época atual, ou seja, juntamente com o contrato.

1.3 e) Rendas diferidas:

Quando o primeiro termo vencer no fim de, podemos dizer, x + 1 períodos a contar da época atual, dizemos que a Renda é diferida de x períodos. Este tipo de renda é mais conhecida na matemática financeira com o nome de carência.

2 - Juros e Descontos

Você já deve ter feito muitos pagamentos. Conheça um pouco mais!

2.1 - Pagamentos: Série de pagamentos é o nome dado às operações financeiras que envolvem pagamento ou recebimentos parcelados e que deverão ocorrer em prazos já pré-estabelecidos.

Podemos classificar as séries de acordo com diversos critérios:

Certas, aleatórias, uniformes, imediatas ou diferidas, postecipadas ou antecipadas, temporárias ou perpétuas, periódicas ou aperiódicas, inteiras ou fracionárias.

2.1.1 - Séries uniformes: São aquelas em que o valor nominal das prestações é o mesmo.

2.1.2 - Séries mistas: São aquelas em que pelo menos uma das prestações possui valor nominal diferenciado.

2.1.3 - Séries antecipadas: os pagamentos ocorrem no início de cada período. Podemos citar, por exemplo, adiantamento do aluguel no ato da locação e compra com entrada.

2.1.4 - Séries postecipadas: os pagamentos ocorrem no fim de cada período, ou seja, a primeira prestação tem um prazo de carência, por exemplo, carência de 30 dias após o contrato.

2.2 - Empréstimos:

Quando há um crédito direto ao consumidor, este fica com um montante em dinheiro, que será pago em prestações. Os empréstimos podem ser realizados de curto e médio prazo e também em longo prazo, quando seu período for acima de 3 anos. Quando é emprestado um dinheiro, normalmente faz-se um seguro que dê cobertura ao credor no caso de morte, inadimplência, entre outras situações. O valor máximo de um empréstimo é oferecido de acordo com a renda do mutuário. O pagamento de um empréstimo é feito em prestações que se destina tanto à amortização da dívida como ao pagamento de juros.

Normalmente há um período de carência para o mutuário.

Nos financiamentos a longo prazo o devedor ou mutuário tem também três modalidades para resgatar sua dívida:

1. pagando no vencimento o capital e os juros;
2. pagando periodicamente os juros e no vencimento o capital;
3. pagando periodicamente os juros e uma quota de amortização do capital.

Das três modalidades, a mais interessante para o mutuário é a terceira.

Cada uma das modalidades citadas constitui um sistema.
Como nos empréstimos a longo prazo os juros são cobrados no regime composto, o não-pagamento de uma prestação torna maior o saldo devedor, pois é juro sobre juro.

2.3 - Fluxo de Caixa

Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações.

Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da análise de certa aplicação, que pode ser um investimento, empréstimo, financiamento, entre outros. Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas na linha de tempo com início no instante t = 0.

A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo, enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.

Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$ 5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de R$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destes depósitos.

Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.

2.4 - Definições Importantes:

2.4.1. Sistema de Amortização Constante - SAC:

Amortizações periódicas, sucessivas e decrescentes em P.A. de uma dívida, onde a prestação incorpora o principal mais encargos.

Exemplo: Sistema Financeiro de Habitação.

2.4.2. Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) - SAF:

A dívida é quitada através de prestações iguais, periódicas e sucessivas.
Um exemplo utilizado no Brasil é o CDC e também vendas a prazo divulgadas pelas grandes redes de varejo.

2.4.3. Sistema de Amortização Americano - SAA:

Os juros são pagos periodicamente e o principal é quitado no final da operação.
Exemplo: Títulos da dívida pública, debêntures, entre outros.

2.4.4 - Sistema de Amortização Misto - SAM:Para cada um dos valores de seu plano de pagamentos somam-se aqueles obtidos pelo Sistema Francês (SAF), com os do Sistema de Amortização Constante (SAC), dividindo-se o resultado por 2.

Dessa forma:

• As Amortizações são crescentes
• Os Juros são decrescentes
• As Prestações são decrescentes

2.4.5 - Sistema de Amortizações Variáveis. Parcelas Intermediárias.
Usados pelas incorporadoras nas vendas financiadas diretamente aos mutuários.

2.5 - Financiamentos
Os financiamentos são recursos que a empresa utiliza por certo tempo, durante o qual deve efetuar a devolução dos mesmos em parcelas. Normalmente, os financiamentos são tomados para suportar a expansão da empresa, seja no Ativo Circulante, seja no Permanente ou no início de atividades, até a empresa atingir determinado nível de operações que a torne economicamente viável.

Os financiamentos têm sempre um prazo de amortização em prestações mensais, semestrais ou anuais, podendo ou não incluir um período de carência. Espera-se que qualquer financiamento seja paulatinamente amortizado, ou seja, parte dos lucros gerados pelo investimento e parte do retorno de caixa obtido com a depreciação nos custos.

2.6 - desconto "por fora" e "por dentro"

No desconto composto "por fora", para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre o valor do título. Já no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor de desconto correspondente ao primeiro período. No terceiro período sobre o valor futuro do título menos os valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente até o enésimo período.
No caso do desconto composto racional "por dentro" ou racional, é dado pela diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, calculado com base no regime de capitalização composta.

Uma aplicação

Um contador precisa planejar, fazer orçamentos, e estar sempre atualizado sobre taxas de juros, entre outros detalhes, para analisar suas empresas, agindo com muita responsabilidade.

Suponha-se que uma empresa adquira um equipamento que proporcione os seguintes resultados mensais.

Receita  2000
Despesas  1600
Depreciação  200
Lucro   200

A empresa pode, teoricamente, assumir uma dívida cujas prestações mensais, incluídos juros e amortizações, seja de R$ 400,00, no qual somamos o lucro com a depreciação, pelo prazo em que o equipamento é capaz de manter essa lucratividade. Se este prazo for de 60 meses, o financiamento a ser assumido é igual ao valor presente de uma renda de R$ 400,00, durante 60 meses.

Sendo:

VFi= Valor do Financiamento
P=     Prestação
i=      Taxa de juros mensal
considerando:
i= 1,00% a.m.
P= 400,00
O valor do financiamento será de R$ 17982,00

No caso do financiamento destinar-se ao Ativo Circulante, o processo será análogo, evidentemente, sem a depreciação.

Entretanto, leve-se em conta o risco de um investimento empresarial, ou seja, a incerteza da receita, das despesas e consequentemente do lucro.

Assim, antes de se aplicar a fórmula acima, verifique qual a probabilidade de as receitas e despesas se comportarem conforme o esperado.

A empresa não pode assumir compromissos pelo máximo lucro atingível, nem pela média, mas pelo mínimo que se pode obter com uma probabilidade superior a determinado percentual, como 90% ou 95%, por exemplo. Ainda assim, quando nos 10% ou 5% de probabilidade de não ocorrer o lucro mínimo, puder recorrer a outros recursos para pagar suas prestações, tais como encaixes provisórios, propaganda, treinamento, programas sociais, entre outros. Também, reduções que embora prejudiciais, são menos piores que a inadimplência.
A empresa deve fazer estimativas, pois do contrário assumirá compromissos no escuro.

Neste texto abaixo vou explicar mais sobre taxas e exemplos, para que você perceba as diferentes taxas:

2.7.1 - Taxa Nominal:

A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

1200% ao ano com capitalização mensal.
450% ao semestre com capitalização mensal.
300% ao ano com capitalização trimestral.

2.7.2 - Taxa Efetiva:

A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

120% ao mês com capitalização mensal.
450% ao semestre com capitalização semestral.
1300% ao ano com capitalização anual.

2.7.3 - Taxas Equivalentes:
Duas taxas  são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 a taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.

1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias.

Leia e Reflita

"No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela conseqüente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira "poluição" de taxas de juros".

2.8 - Inflação e seus índices

Você já viu uma histórinha que envolve matemática financeira? Esta é muito legal! 

Quanto perco com a inflação?

Souzinha, apesar de viver em um país que há mais de quarenta anos tem inflação, ainda não conseguiu raciocinar com ela. Certo dia, falou-me:

• A inflação nos meses subseqüentes ao último aumento de salário (melhor seria dizer reajuste) foi de 8% e 7%. Já perdi com isso 8% + 7%= 15% do meu salário.

Corrigi:

• Não é 15%, é outro valor.
• Souzinha respondeu:
• Já sei, já sei. O cálculo exato é 1,08 x 1,07 = 1,1556, ou seja, 15,56%.
• Continua errado, insisti.
• Souzinha bateu o pé e saiu murmurando baixinho, mas suficientemente alto para que eu pudesse ouvir:
• O Botelho não tem jeito, está sempre arrumando coisinhas para discutir.

Afinal, quem está certo, Souzinha ou eu?

Resposta: É claro que sou eu que estou certo e Souzinha está errado. Admitamos que Souzinha ganhasse 100 000 unidades de dinheiro e usasse essa quantia para comprar unicamente produtos de valor unitário 100.

Logo, ele compraria, inicialmente, um total de 1 000 produtos. Se a inflação foi de 8% no primeiro mês após o aumento e de 7% no mês seguinte, o produto padrão que custava 100 passará a custar 100 x 0,07 x 0,08 = 115,56.

Custando o objeto padrão 115,56 e Souzinha continuando a ganhar 100 000, ele poderá comprar 100 000 / 115,56 que é aproximadamente 865.

Logo, a redução da capacidade de compra terá sido de

 

Certo, Souzinha?

(Assim, mesmo quando a inflação acumulado for de 100%, o nosso salário não some, mas nosso poder de compra cai 50%).

(Artigo de Manoel Henrique Campos Botelho, Revista do Professor de Matemática, nº 20 - 1º quadrimestre/92)

Você sabia que a matemática financeira em relação aos juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existentes na Terra?

Os historiadores apontam que um dos primeiros indícios apareceu na já na Babilônia no ano de 2000 a.C. Tributos, cobranças de impostos existem há muito tempo! Os textos históricos nos relatam que os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas; os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens.

Em uma tábua matemática, datada de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema: Por quanto tempo deve-se aplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre?

conceitos mais comuns:

2.8.1 - Encargos Financeiros: juros da operação que podem ser pré-fixados ou pós-fixados, constituindo-se custo para o devedor e retorno para o credor;

2.8.2 - Empréstimo: obtenção de Capital para pagamento em uma ou mais prestações, geralmente não associado à compra de um bem;

2.8.3 - Financiamento: obtenção de Capital para pagamento em duas ou mais prestações, geralmente associado à compra de um bem (bens de consumo duráveis, veículos, imóveis, entre outros). Quando um vendedor nos oferece um financiamento para a compra de um objeto, ele está fazendo uso de tabelas que foram produzidas por sua gerência financeira;

2.8.4 - Amortização: Pagamento do capital emprestado, realizado através de prestações periódicas, mensais, bimestrais, trimestrais, semestrais entre outos;

2.8.5 - Saldo Devedor: Representa o valor do principal da dívida, em um determinado momento, após a dedução das amortizações já efetuadas pelo mutuário;

2.8.6 - Prestação: Amortização mais encargos financeiros devidos em determinado período de tempo;

2.8.7 - Carência: Diferimento eventualmente acordado no início dos pagamentos do empréstimo ou financiamento. Registre-se que os encargos financeiros, dependendo do estabelecido contratualmente, podem ocorrer após o prazo do diferimento, juntamente com o principal.

2.9 Como funciona o processo de atualização de preços?

Os índices de preços podem ser apresentados de forma absoluta ou relativa. Os índices relativos são aqueles que se referem a um determinado período de tempo (dia, mês, ano, entre outros), enquanto os absolutos referem-se a valores acumulados a partir de um certo valor, em uma determinada data.

O IGP é um índice muito utilizado, publicado mensalmente na revista Conjuntura Econômica, organizado pela FGV (Fundação Getúlio Vargas), localizada no Rio de Janeiro.

Podemos obter a taxa pela diferença entre o quociente do índice do final e o do início do período e a unidade, quando os índices se apresentam na forma absoluta pela seguinte fórmula:

Vamos ver uma aplicação?

O índice 2 (IGP), num determinado ano era 173. No ano seguinte era de 208. Qual a inflação do período?